Ha már sikeresen teljesítetted a matematika_haladó tematikát, ideje szintet lépni és megismerkedni A MATEMATIKÁVAL. Ez az, amivel az egyetem/főiskola a gólyákat lesokkolja. Ahogy az előző bejegyzésben írtam, szerintem nagyon sok fehér folt van a középiskolai és az egyetemi matematika között, ez próbáltam a haladó tematikával a lehetőségekhez mérten betömni.
Miről szól az egyetemi matematika?
A röviden szeretném megfogalmazni, akkor egy csomó integrálás, deriválás, differenciálegyenlet, vektorterek meg némi valószínűségszámítás. Elsőre nem is tűnik annyira veszélyesnek, pedig az. A legnagyobb ellenséged az időhiány. Rád zuhan a hirtelen jött nagy szabadság, senki sem kér számon, nincs este 10-kor lefekvés. Tiéd a világ és a magad ura vagy. Látszólag. Aztán karácsony felé már biztosan túl vagy az első rémületen, látod lelki szemeid előtt az „elégtelent” a leckekönyvben.
Elárulok egy nagy titkot – igaz, ez én is csak évekkel később tudtam meg:
Az első féléves matematika egyszerű
Egyszerű teljesíteni és elszúrni is. Fókuszáljunk inkább arra, hogyan lehet teljesíteni. Első körben a mesterévé kell válnod a deriválásnak, majd az integrálásnak. Az egyik kedvenc filmem – már csak zenéje miatt is – az Eredet. Ha láttad a filmet, akkor biztosan tudod, hogy az álom és a valóság között nehéz különbséget tenni, ezért minden szereplő rendelkezik egy totemmel, aminek kizárólag ők ismerik a „megfelelő működését”. A Leonardo DiCaprio által megformált Cobb totemj egy pörgettyű:
Ha most azt a feladatot kapnánk, hogy határozzuk meg Cobb totemének térfogatát, mit csinálnánk? Látható, hogy ez a test nem egy „egyszerű” alakzat, így középiskolás matematikával nehéz lenne meghatározni a térfogatát. Ha középiskolás matematika most nem segít, a fizika most nem hagy minket cserben. Arkhimédész törvénye érvényes a Földön, vagyis ha veszünk egy hengeres edényt (egyszerűen ki tudjuk számolni a térfogatát), feltöltjük vízzel (ismerjük a sűrűségét), majd beledobjuk Cobb totemét. A víz felszíne valamennyivel magasabb lesz, lemérjük a vízszint magasságának változást, majd ebből meghatározzuk a totem térfogatát.
Na jó, ehhez nem kell egyetemre menni, a konyhában is el lehet végezni. Ez így van, de most tegyük fel a kérdést úgy, hogy kint vagyunk a Világűrben. Ott némi gond adódna a jó öreg Arkhimédész törvényével. Nincs más lehetőségünk, itt és most számolnunk kell:
A deriválás és integrálás segítségével ilyen és ehhez hasonló térfogatok számíthatóak ki. De nem csak erre jó – terület, görbék alatti területek, ívhosszok, pillanatnyi sebesség és gyorsulás meghatározása sem működne deriválás és integrálás nélkül.. Vagyis ha az első éves matek nem megy, akkor gondban leszel a mechanika, fizika, elektromosságtan tárgyakkal is…
Fokozzuk a szenvedést
A következő nagy témakör a differenciálegyenletek és vektorterek. Nem, nem azért van kitalálva, hogy neked még rosszabb legyen, hanem azért, hogy egyre bonyolultabb mozgástani, áramlástani, elektronikai problémákat tudj megoldani.
A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény és az egyenlet a függvény függvénye – rendszerint idő szerinti függvénye. Valószínűleg az ilyen definícióktól ökölbe szorul a talpad, elszakad a pohár és betelik a cérna. Mondok inkább mást. Manapság milliárdos rakétákat épít és teleműholdazza az éjszakai égboltot. Tegyünk mi is így, de csak gondolatban.
A rakéta feladata, hogy a műholdat Föld körüli pályára állítsa, ehhez előbb el kell érni az első kozmikus sebességet. Vagyis, úgy kell megtervezni a rakéta hajtóművét, hogy a 28480km/h-s sebességet biztonsággal elérjük. A rakéta hajtóművében – most vegyünk egy folyékony hajtóanyaggal működő rendszert – kémiai reakciók során tolóerőt hozunk létre. Ez a tolóerő emeli fel a rakétát a kilövőállásról és viszi az űr felé. A hajtóműből konstans sebességgel áramlik ki az égéstermék, közben fogy a hajtóanyag tömege is. Newton óta tudjuk, hogy 
, vagyis a rakétánk tömege egyre kisebb lesz, a kiáramló égéstermékek meg konstans erőt hoznak létre a mozgás irányával ellentétesen. Közben a rakétánk egyre nagyobb sebességgel halad és ezt egy szép differenciálegyenlettel tudjuk leírni:
– viszonyszám, a rakéta tömege hajtóanyag nélkül osztva a rakéta teljes tömegével (rakéta + üzemanyag + rakomány)
– rakomány tömege
– rakéta tömege + üzemanyag
– kiáramló égéstermék sebessége – konstans
Az egyenletet most nem fogjuk megoldani, csupán egy látványos példával szerettem volna érzékeltetni, mennyire fontosak a differenciálegyenletek. E
Komolyabb – reálisabb – fizikai probléma megoldása differenciálegyenletek nélkül nem lehetséges
Aztán majd jönnek a vektorterek, Laplace-transzformáció, valószínűségszámítás… Végezetül írok ide magamnak egy második szamárvezetőt, mikről is kell majd videót csinálnom, illetve feladatokat készíteni.
Mi várható ebben a kategóriában
Magasabb szintű kinematikai, dinamikai, lengéstani, elektromágneses, stb. feladatok magasabb matematika nélkül nehezen oldhatóak meg, ez egyben azt is jelenti, ha a második vagy harmadik féléves matekkal gond van, akkor ezekkel a tantárgyakkal is gond lesz. Ilyenkor szoktak sokan begyűjteni legalább 2 félévnyi lemaradást. Mindenkinek más a célja, legtöbbször csak annyi, hogy valahogy átvergődjön a matematika szigorlaton és viszontlátásra. Viszont hidd el, egy izmosabb matematikai háttérapparátussal a tarsolyodban a munkádban gyorsan tudsz a „megoldó ember” lenni. Csak arra kell vigyázni, hogy ne ugyanannyiért oldd meg mindenki problémáját – majd erről is fogok még írni.
Most csak összeírom ide magunknak, miről is lesz ebben a kategóriában:
Függvények és határértékek
- Ismétlés a tudás anyja
- Függvények áttekintése
- Érintők
- Függvények határértékei
- Határérték-szabályok
- Határérték definíciói
- Folytonosság
- Műszaki alkalmazások
Differenciálhányados
- Differenciálhányados fogalma
- Függvények deriváltjai
- Deriválási szabályok
- Trigonometrikus függvények deriváltjai
- Láncszabály
- Implicit deriváltak
- Lineáris közelítés
- Műszaki alkalmazások
Differenciálszámítás alkalmazása
- Szélsőértékhelyek
- Középérték-elmélet
- Függvény alakja és deriváltjai közötti összefüggések
- Végtelenben vett határértékek
- Teljes függvényvizsgálat
- Optimumszámítások
- Newton-Raphson módszer
- Antideriváltak
- Műszaki alkalmazások
Integrálok
- Integrál fogalma
- Határozott integrálok
- Általános integrálok – a kalkulus lényege
- Határozatlan integrálok – Newton és Leibnitz
- Helyettesítéses szabály
- Műszaki alkalmazások
Integrálszámítás
- Görbék által közrezárt terület
- Térfogatszámítás
- Hengeres testek térfogata
- Görbe alatti terület – Munka
- Függvények átlagértéke
- Műszaki alkalmazások
Inverz függvények
- Inverz függvények fogalma
- Exponenciális függvények és deriváltjaik
- Logaritmus függvények és deriváltjaik
- Exponenciális csökkenés és növekedés
- Trigonometrikus függvények inverz függvényei
- Hiperbolikus függvények
- L’Hospital szabály
- Műszaki alkalmazások
Integrálási módszerek
- Tagonkénti integrálás
- Trigonometrikus kifejezések integrálása
- Trigonometrikus helyettesítés
- Törtfüggvények integrálása
- Hogyan és mit használj?
- Integrálási táblázatok
- Integrálás számítógéppel – CAS alkalmazása
- Közelítő integrálás
- Improprius integrálok
- Műszaki alkalmazások
Differenciálegyenletek
- Hol és mire jó?
- Euler módszere
- Szétválasztható tagú differenciálegyenletek
- Lineáris differenciálegyenletek
- Speciális differenciálegyenletek – Populáció
- Speciális differenciálegyenletek – Ragadozó-Préda
- Műszaki alkalmazások
Paraméteres egyenletek és polárkoordináták
- Paraméteres egyenlettel megadott görbék
- Parametrikus görbék – Bézier-görbék
- Polárkoordinátás alak
- Terület és hosszúságok polárkoordináta rendszerben
- Kúpok metszete
- Kúpok metszete – polárkoordináta rendszerben
- Műszaki alkalmazások
Végtelen sorok és sorozatok
- Sorok – ismétlés
- Sorozatok – ismétlés
- Összegbecslések
- Összehasonlító vizsgálat
- Váltakozó sorok
- Abszolút konvergencia, hányados és gyökök vizsgálata
- Hatványsorok
- Függvények ábrázolása hatványsorokkal
- Taylor- és Maclaurin-sorok
- Talyor-polinom
- Műszaki alkalmazások
Vektoranalízis I
- Egyváltozós vektor-skalárfüggvények
- Kétváltozós vektor-skalárfüggvények
- Skalár-vektorfüggvények
- Vektor-vektorfüggvények
- Vonalmenti integrál
- Potenciál
- Felületi integrál
- Műszaki alkalmazások
Parciális deriváltak
- Többváltozós függvények – ismétlés
- Határérték és folytonosság
- Parciális deriváltak
- Érintősíkok és lineáris közelítések
- Láncszabály
- Iránymenti deriváltak és gradiensvektor
- Határértékek
- Lagrange-polinom
- Műszaki alkalmazások
Többváltozós integrálok
- Kettős integrálok – téglaalap tartományon
- Kettős integrálok – általános tartományban
- Kettős integrálok – polárkoordináta rendszerben
- Hármas integrálok
- Hármas integrálok – hengerkoordináta rendszerben
- Hármas integrálok – gömbi koordináta rendszerben
- Változók változása többváltozós függvények esetében
- Műszaki alkalmazások
Vektoranalízis II
- Vektor-vektorfüggvény divergenciája
- Gauss-Osztrogradszkij-tétel
- Green-tétel
- Vektor-vektorfüggvény rotációja
- Vektorpotenciál
- Stokes tétel, potenciálkeresés
- Skalár-vektorfüggvény gradiense
- Parametrikus felületek és felületük
- Általános koordináták
- Gradiens számítása polárkoordináta rendszerben
- Divergencia számítása polárkoordináta rendszerben
- Rotáció számítása polárkoordináta rendszerben
Másodrendű differenciálegyenletek
- Lineáris, másodrendű differenciálegyenletek
- Inhomogén, lineáris differenciálegyenletek
- Sorozatok megoldása
- Műszaki alkalmazások
Valószínűségszámítás
- Ezt még megálmodom 🙂
Ez sem lesz kevés…